ユニットのパフォーマンスとステの割り振り方

前回は、ユニット同士の殴り合いの観点のみで言えば、ATとHPの関係は、和による基準値ではなく、あるユニットを基準にし、AT（攻撃力）をx倍したらHP（耐久力）はx分の1にするといった具合に、割合によって考える方がより公平であるという話であった。

では、現在の“基準値”によるステータスの決め方に従って作られたユニットの中で、最も強いと言えるものは存在するのだろうか？
今回の考察の結果、「ありそうだ」という結論が得られた。
それは、HP＝ATとなる場合である。ただし、あくまでも高速高ATが多いとか、40ダメージSSが多いなどの環境の影響は考慮していない。

理由は以下のようである。

今回も簡単のため、前回の例で考えてみることにする。
ユニットA：(HP, AT)＝(40, 40)
ユニットB：(45, 35)
ユニットC：(50, 30)
ユニットD：(60, 20)
ユニットE：(70, 10)

ユニットA＝B＝C＞D＞Eとなるため、HPとATの片方に寄せれば寄せるほどユニットは弱くなっていくと考えられる。実は、ATをユニットAよりも大きく、HPを小さくしても、ユニットA，B，Cと相討ちになり、ATが高いほど強いかもしれないが、極限の(0, 80)が弱い（？）ので、(0, 80)が特異点であると考えるより自然であろう。

ここから数式に活躍してもらおう。

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ユニットのHPをH，ATをAで表すとする．あるユニットUのHPをH₀，ATをA₀とする．
HPとATの和をSで表し、
S₀＝H₀＋A₀＝const.　　　・・・(1)
割合によるステータスの決め方に従うと，ユニットUと同等なHP，ATの組み合わせは，その倍率をxとして，
H＝H₀x，A＝A₀/x　　　・・・(2)
となる。
S＝H＋A＝H₀x＋A₀/x　　　・・・(3)
∂S/∂x＝H₀－A₀/x²＝0のとき，Sは最小値を取る．このとき，ユニットUのステータス合計値（HP＋AT＋DF×2＋（AGI＋RNG）×10）よりも小さいステータス合計値となるような，このユニットと同等のユニットU*が存在していることになる．逆に，ユニットUの実質のステータス合計値は，このときのSに比例するといえる．
これを計算するとx＝(A₀/H₀)^1/2　　　・・・(4)
式(1)，式(3)，式(4)より
S＝2(H₀A₀)^1/2＝2｛H₀(S₀－H₀)｝^1/2　　　・・・(5)
上で述べた通り，式(5)が表すものは，ユニットのHPをある値にしたときの，実質のステータス合計値といえるもので，これが最大値を取るとき，限られたステータス合計値を有効に割り振っているといえる．
式(5)をH₀について微分し，これが0となる点が最大値であるので，
∂S/∂H₀＝(S₀－2H₀)/｛H₀(S₀－H₀)｝^1/2＝0
∴H₀＝S₀/2
このとき，A₀は
A₀＝S₀－H₀＝S₀/2＝H₀
ユニットU*となるようなxは式(4)よりx＝1となり，ユニットUとユニットU*はまったく同じになる．

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以上より、HP＝ATとなるようなユニットが、ステータス合計値を有効に割り振っているといえる．